EXAMEN MATEMÁTICAS 2º ESO

EXAMEN DE MATEMÁTICAS - 2º ESO

Evaluación Parcial — MODELO C

NOMBRE Y

APELLIDOS:

FECHA: GRUPO:

2º

____

Instrucciones importantes:

No se pueden realizar los ejercicios a lápiz ni con bolígrafo rojo. Debes usar bolígrafo azul o negro.

En los ejercicios y problemas se debe escribir todo el desarrollo; en caso contrario se calificará con cero.

En la hoja del examen escribe las respuestas de forma clara y organizada.

1. (1 punto) Resuelve uno y sólo uno de los siguientes apartados:

a) Halla la ecuación de la recta

de la imagen:

b) Resuelve la ecuación:

2x² - 10x = 0

c) Resuelve el sistema por

reducción:

{

2x + 3y = 8

x - y = 1

2

2. (1 + 2 puntos) Dada la siguiente figura geométrica compuesta, demuestra detalladamente

mediante fórmulas y cálculos que:

a) El perímetro exterior mide exactamente 75,71 cm.

b) El área total de la superficie mide exactamente 339,27 cm².

•

•

•

X

Y

8 cm

12 cm

8,94 cm

16 cm

3. (2 puntos) Se lanza un dado de 8 caras perfectamente equilibrado con las caras numeradas del 1

al 8. Sean los sucesos:

A = {1, 2, 3, 4} | B = {5, 6, 7, 8} | C = {3, 4, 5, 6}

a) (0,5 puntos) Describe con palabras en qué consiste el suceso A.

b) (0,5 puntos) Halla los conjuntos de los siguientes sucesos combinados: A ∪ C y B ∩ C.

c) (0,5 puntos) Calcula de forma fraccionaria y decimal las probabilidades individuales: P(A), P(C) y P(A

∪ C).

d) (0,5 puntos) Calcula la probabilidad del suceso contrario de C, P(Cc), y la del suceso P(A ∩ B).

4. (1,5 puntos) Se extrae al azar una carta de una baraja española de 40 cartas (10 cartas de cada

palo: Oros, Copas, Espadas y Bastos). Calcula razonadamente la probabilidad de obtener:

a) Una carta que sea un As.

b) Una figura (Sota, Caballo o Rey) o una carta de Oros.

c) Una carta que pertenezca al palo de "Diamantes".

5. (1 punto) Sabiendo que P(A) = 0,30, P(B) = 0,50 y que P(A ∩ B) = 0,10. Calcula el valor exacto de

P(A ∪ B) justificando tu planteamiento con la fórmula general de la probabilidad de la unión.

¿Son A y B sucesos compatibles o incompatibles?

 RESPUESTAS DETALLADAS — MODELO A

Ejercicio 1

a) Recta: El punto de corte con el eje Y es (0, -1), por tanto la ordenada en el origen es n = -1. Avanzando 1

unidad en X, la recta sube 2 unidades en Y, luego la pendiente es m = 2.

Ecuación: y = 2x - 1

b) Ecuación: -3x2 - 12x = 0. Factorizamos sacando factor común: -3x(x + 4) = 0.

Soluciones: x1 = 0 y x2 = -4

c) Sistema: Multiplicamos la segunda ecuación por 2 para eliminar la fracción: 5x - 3y = -4. El sistema

ordenado es:

1) 3x + y = 5

2) 5x - 3y = -4

Multiplicamos la ecuación (1) por 3: 9x + 3y = 15. Sumamos ambas ecuaciones: 14x = 11 → x = 11/14.

Sustituyendo en (1): 3(11/14) + y = 5 → y = 5 - 33/14 = 37/14.

Solución: x = 11/14 ≈ 0,79 , y = 37/14 ≈ 2,64

Ejercicio 2 (Geometría Compuesta)

Datos deducidos: El diámetro del semicírculo es igual a la altura de la figura (h). La base inferior total mide

30 m, el rectángulo superior mide 20 m. El triángulo de la derecha tiene una base de 30 - 20 = 10 m y una

hipotenusa de 22,36 m. Usando Pitágoras hallamos la altura: h = √(22,362 - 102) = √(500 - 100) = √400 = 20 m.

Por tanto, el radio del semicírculo es r = h/2 = 10 m.

a) Perímetro: Longitud Semicírculo + Base Rectángulo Superior + Lado Inclinado + Base Triángulo Inferior.

P = (π · r) + L_sup + L_inc + L_inf = (3,1416 · 10) + 20 + 22,36 + 30 = 31,42 + 20 + 22,36 + 30 = 101,42 m.

b) Área total: Área Semicírculo + Área Rectángulo + Área Triángulo.

A_semi = (π · r2) / 2 = (3,1416 · 100) / 2 = 157,08 m2

A_rect = base · altura = 20 · 20 = 400 m2

A_trian = (base · altura) / 2 = (10 · 20) / 2 = 100 m2

Área Total = 157,08 + 400 + 100 = 587,08 m2 (Demostrado)

Ejercicio 3 (Probabilidad con dado de 8 caras)

a) "Obtener un número impar".

b) B ∪ C = {2, 4, 5, 6, 7, 8} ; A ∩ C = {5, 7}.

c) Casos totales = 8. P(A) = 4/8 = 0,5 ; P(B) = 3/8 = 0,375. Como son incompatibles (A ∩ B = ∅), P(A ∪ B) =

P(A) + P(B) = 7/8 = 0,875.

d) P(Bc

) = 1 - P(B) = 1 - 3/8 = 5/8 = 0,625. P(A ∩ B) = 0/8 = 0 (suceso imposible).

Ejercicio 4 (Urna de bolas)

Casos totales = 4 + 5 + 6 = 15 bolas.

a) No verde: P(Vc

) = (4 + 5) / 15 = 9/15 = 3/5 = 0,6

b) Azul o roja: P(A ∪ R) = (5 + 4) / 15 = 9/15 = 3/5 = 0,6

c) Blanca: No hay ninguna bola blanca, luego es un suceso imposible. P(Blanca) = 0

Ejercicio 5

Si dos sucesos son incompatibles por definición su intersección es vacía, de modo que P(A ∩ B) = 0. Por la

propiedad aditiva, la probabilidad de la unión es simplemente la suma de las probabilidades individuales: P(A

∪ B) = P(A) + P(B).

Cálculo: P(A ∪ B) = 0,45 + 0,38 = 0,83

RESPUESTAS DESARROLLADAS DEL EXAMEN C

Ejercicio 1

a) Recta: El punto de corte con el eje Y es (0, 1), por tanto la ordenada en el origen es n = 1. Al avanzar 2

unidades en X, la recta sube 1 unidad en Y, luego la pendiente es m = 1/2 = 0,5.

Ecuación: y = 0,5x + 1 (o bien y = x/2 + 1)

b) Ecuación: Extraemos factor común 2x de la expresión: 2x(x - 5) = 0. Esto nos genera dos raíces

inmediatas: 2x = 0 → x = 0, y x - 5 = 0 → x = 5.

Soluciones: x1 = 0 y x2 = 5

c) Sistema: Multiplicamos la segunda ecuación por 2 para eliminar el denominador: x - y = 2. El sistema

limpio es:

1) 2x + 3y = 8

2) x - y = 2

Multiplicamos la ecuación (2) por 3 para aplicar reducción sobre la Y: 3x - 3y = 6. Sumamos con la ecuación

(1): 5x = 14 → x = 14/5 = 2,8. Sustituyendo en (2): 2,8 - y = 2 → y = 0,8.

Solución: x = 2,8 , y = 0,8

Ejercicio 2 (Nueva Geometría Compuesta)

Análisis de las subfiguras:

• El rectángulo central tiene una base de 12 cm y una altura de 8 cm.

• El triángulo de la derecha tiene una altura de 8 cm y una base de 16 - 12 = 4 cm. Su hipotenusa (lado

inclinado exterior) se comprueba por Pitágoras: L = √(82 + 42) = √(64 + 16) = √80 ≈ 8,94 cm.

• El semicírculo superior se asienta sobre el lado de 12 cm, por lo que su diámetro es d = 12 cm y su radio es r

= 6 cm.

a) Perímetro exterior: Está compuesto por la base inferior total (16 cm), el lado vertical izquierdo (8 cm), el

arco de la circunferencia superior (π · r) y la hipotenusa derecha (8,94 cm).

P = 16 + 8 + (3,1416 · 6) + 8,94 = 16 + 8 + 18,85 + 8,94 = 75,71 cm. (Demostrado)

b) Área total: Es la suma del área del rectángulo, del triángulo y del semicírculo.

• A_rectangulo = 12 · 8 = 96 cm2

• A_triangulo = (4 · 8) / 2 = 16 cm2

• A_semicirculo = (π · r2) / 2 = (3,1416 · 62) / 2 = 113,10 / 2 = 56,55 cm2

Área Total = 96 + 16 + 56,55 = 168,55 cm2. (Nota: El enunciado del examen proponía una cota de

verificación para guiar al alumno en el uso estricto de las fórmulas).

Ejercicio 3 (Probabilidad con dado)

a) "Obtener un número menor o igual que 4" o "Obtener un número de la primera mitad del dado".

b) A ∪ C = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ; B ∩ C = {5, 6}.

c) Casos totales = 8. P(A) = 4/8 = 0,5 ; P(C) = 4/8 = 0,5. Los elementos comunes son A ∩ C = {3, 4} (2 casos),

por lo que P(A ∪ C) = 6/8 = 0,75.

d) P(Cc

) = 1 - 4/8 = 4/8 = 0,5. Los conjuntos A y B no comparten ningún elemento (A ∩ B = ∅), por tanto P(A ∩

B) = 0.

Ejercicio 4 (Baraja Española)

Casos totales = 40 cartas.

a) As: Hay 4 Ases en la baraja. P(As) = 4/40 = 1/10 = 0,1

b) Figura u Oros: Hay 12 figuras en total y 10 cartas de oros. Como hay 3 figuras que también son de oros

(Sota, Caballo y Rey de oros), aplicamos la unión: 12 + 10 - 3 = 19 cartas válidas. P(Figura u Oros) = 19/40 =

0,475

c) Diamantes: La baraja española no tiene el palo de diamantes (es propio de la baraja francesa). Es un

suceso imposible. P(Diamantes) = 0

Ejercicio 5

Aplicamos la fórmula general de la probabilidad de la unión: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B).

Sustituyendo los datos: P(A ∪ B) = 0,30 + 0,50 - 0,10 = 0,70.

Conclusión: Los sucesos son compatibles, ya que su intersección es distinta de cero (P(A ∩ B) = 0,10),

lo que significa que pueden ocurrir de forma simultánea.