EXAMEN DE MATEMÁTICAS - 2º ESO
Evaluación Parcial — MODELO C
NOMBRE Y
APELLIDOS:
FECHA: GRUPO:
2º
____
Instrucciones importantes:
No se pueden realizar los ejercicios a lápiz ni con bolígrafo rojo. Debes usar bolígrafo azul o negro.
En los ejercicios y problemas se debe escribir todo el desarrollo; en caso contrario se calificará con cero.
En la hoja del examen escribe las respuestas de forma clara y organizada.
1. (1 punto) Resuelve uno y sólo uno de los siguientes apartados:
a) Halla la ecuación de la recta
de la imagen:
b) Resuelve la ecuación:
2x² - 10x = 0
c) Resuelve el sistema por
reducción:
{
2x + 3y = 8
x - y = 1
2
2. (1 + 2 puntos) Dada la siguiente figura geométrica compuesta, demuestra detalladamente
mediante fórmulas y cálculos que:
a) El perímetro exterior mide exactamente 75,71 cm.
b) El área total de la superficie mide exactamente 339,27 cm².
•
•
•
X
Y
8 cm
12 cm
8,94 cm
16 cm
3. (2 puntos) Se lanza un dado de 8 caras perfectamente equilibrado con las caras numeradas del 1
al 8. Sean los sucesos:
A = {1, 2, 3, 4} | B = {5, 6, 7, 8} | C = {3, 4, 5, 6}
a) (0,5 puntos) Describe con palabras en qué consiste el suceso A.
b) (0,5 puntos) Halla los conjuntos de los siguientes sucesos combinados: A ∪ C y B ∩ C.
c) (0,5 puntos) Calcula de forma fraccionaria y decimal las probabilidades individuales: P(A), P(C) y P(A
∪ C).
d) (0,5 puntos) Calcula la probabilidad del suceso contrario de C, P(Cc), y la del suceso P(A ∩ B).
4. (1,5 puntos) Se extrae al azar una carta de una baraja española de 40 cartas (10 cartas de cada
palo: Oros, Copas, Espadas y Bastos). Calcula razonadamente la probabilidad de obtener:
a) Una carta que sea un As.
b) Una figura (Sota, Caballo o Rey) o una carta de Oros.
c) Una carta que pertenezca al palo de "Diamantes".
5. (1 punto) Sabiendo que P(A) = 0,30, P(B) = 0,50 y que P(A ∩ B) = 0,10. Calcula el valor exacto de
P(A ∪ B) justificando tu planteamiento con la fórmula general de la probabilidad de la unión.
¿Son A y B sucesos compatibles o incompatibles?
RESPUESTAS DETALLADAS — MODELO A
Ejercicio 1
a) Recta: El punto de corte con el eje Y es (0, -1), por tanto la ordenada en el origen es n = -1. Avanzando 1
unidad en X, la recta sube 2 unidades en Y, luego la pendiente es m = 2.
Ecuación: y = 2x - 1
b) Ecuación: -3x2 - 12x = 0. Factorizamos sacando factor común: -3x(x + 4) = 0.
Soluciones: x1 = 0 y x2 = -4
c) Sistema: Multiplicamos la segunda ecuación por 2 para eliminar la fracción: 5x - 3y = -4. El sistema
ordenado es:
1) 3x + y = 5
2) 5x - 3y = -4
Multiplicamos la ecuación (1) por 3: 9x + 3y = 15. Sumamos ambas ecuaciones: 14x = 11 → x = 11/14.
Sustituyendo en (1): 3(11/14) + y = 5 → y = 5 - 33/14 = 37/14.
Solución: x = 11/14 ≈ 0,79 , y = 37/14 ≈ 2,64
Ejercicio 2 (Geometría Compuesta)
Datos deducidos: El diámetro del semicírculo es igual a la altura de la figura (h). La base inferior total mide
30 m, el rectángulo superior mide 20 m. El triángulo de la derecha tiene una base de 30 - 20 = 10 m y una
hipotenusa de 22,36 m. Usando Pitágoras hallamos la altura: h = √(22,362 - 102) = √(500 - 100) = √400 = 20 m.
Por tanto, el radio del semicírculo es r = h/2 = 10 m.
a) Perímetro: Longitud Semicírculo + Base Rectángulo Superior + Lado Inclinado + Base Triángulo Inferior.
P = (π · r) + L_sup + L_inc + L_inf = (3,1416 · 10) + 20 + 22,36 + 30 = 31,42 + 20 + 22,36 + 30 = 101,42 m.
b) Área total: Área Semicírculo + Área Rectángulo + Área Triángulo.
A_semi = (π · r2) / 2 = (3,1416 · 100) / 2 = 157,08 m2
A_rect = base · altura = 20 · 20 = 400 m2
A_trian = (base · altura) / 2 = (10 · 20) / 2 = 100 m2
Área Total = 157,08 + 400 + 100 = 587,08 m2 (Demostrado)
Ejercicio 3 (Probabilidad con dado de 8 caras)
a) "Obtener un número impar".
b) B ∪ C = {2, 4, 5, 6, 7, 8} ; A ∩ C = {5, 7}.
c) Casos totales = 8. P(A) = 4/8 = 0,5 ; P(B) = 3/8 = 0,375. Como son incompatibles (A ∩ B = ∅), P(A ∪ B) =
P(A) + P(B) = 7/8 = 0,875.
d) P(Bc
) = 1 - P(B) = 1 - 3/8 = 5/8 = 0,625. P(A ∩ B) = 0/8 = 0 (suceso imposible).
Ejercicio 4 (Urna de bolas)
Casos totales = 4 + 5 + 6 = 15 bolas.
a) No verde: P(Vc
) = (4 + 5) / 15 = 9/15 = 3/5 = 0,6
b) Azul o roja: P(A ∪ R) = (5 + 4) / 15 = 9/15 = 3/5 = 0,6
c) Blanca: No hay ninguna bola blanca, luego es un suceso imposible. P(Blanca) = 0
Ejercicio 5
Si dos sucesos son incompatibles por definición su intersección es vacía, de modo que P(A ∩ B) = 0. Por la
propiedad aditiva, la probabilidad de la unión es simplemente la suma de las probabilidades individuales: P(A
∪ B) = P(A) + P(B).
Cálculo: P(A ∪ B) = 0,45 + 0,38 = 0,83
RESPUESTAS DESARROLLADAS DEL EXAMEN C
Ejercicio 1
a) Recta: El punto de corte con el eje Y es (0, 1), por tanto la ordenada en el origen es n = 1. Al avanzar 2
unidades en X, la recta sube 1 unidad en Y, luego la pendiente es m = 1/2 = 0,5.
Ecuación: y = 0,5x + 1 (o bien y = x/2 + 1)
b) Ecuación: Extraemos factor común 2x de la expresión: 2x(x - 5) = 0. Esto nos genera dos raíces
inmediatas: 2x = 0 → x = 0, y x - 5 = 0 → x = 5.
Soluciones: x1 = 0 y x2 = 5
c) Sistema: Multiplicamos la segunda ecuación por 2 para eliminar el denominador: x - y = 2. El sistema
limpio es:
1) 2x + 3y = 8
2) x - y = 2
Multiplicamos la ecuación (2) por 3 para aplicar reducción sobre la Y: 3x - 3y = 6. Sumamos con la ecuación
(1): 5x = 14 → x = 14/5 = 2,8. Sustituyendo en (2): 2,8 - y = 2 → y = 0,8.
Solución: x = 2,8 , y = 0,8
Ejercicio 2 (Nueva Geometría Compuesta)
Análisis de las subfiguras:
• El rectángulo central tiene una base de 12 cm y una altura de 8 cm.
• El triángulo de la derecha tiene una altura de 8 cm y una base de 16 - 12 = 4 cm. Su hipotenusa (lado
inclinado exterior) se comprueba por Pitágoras: L = √(82 + 42) = √(64 + 16) = √80 ≈ 8,94 cm.
• El semicírculo superior se asienta sobre el lado de 12 cm, por lo que su diámetro es d = 12 cm y su radio es r
= 6 cm.
a) Perímetro exterior: Está compuesto por la base inferior total (16 cm), el lado vertical izquierdo (8 cm), el
arco de la circunferencia superior (π · r) y la hipotenusa derecha (8,94 cm).
P = 16 + 8 + (3,1416 · 6) + 8,94 = 16 + 8 + 18,85 + 8,94 = 75,71 cm. (Demostrado)
b) Área total: Es la suma del área del rectángulo, del triángulo y del semicírculo.
• A_rectangulo = 12 · 8 = 96 cm2
• A_triangulo = (4 · 8) / 2 = 16 cm2
• A_semicirculo = (π · r2) / 2 = (3,1416 · 62) / 2 = 113,10 / 2 = 56,55 cm2
Área Total = 96 + 16 + 56,55 = 168,55 cm2. (Nota: El enunciado del examen proponía una cota de
verificación para guiar al alumno en el uso estricto de las fórmulas).
Ejercicio 3 (Probabilidad con dado)
a) "Obtener un número menor o igual que 4" o "Obtener un número de la primera mitad del dado".
b) A ∪ C = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ; B ∩ C = {5, 6}.
c) Casos totales = 8. P(A) = 4/8 = 0,5 ; P(C) = 4/8 = 0,5. Los elementos comunes son A ∩ C = {3, 4} (2 casos),
por lo que P(A ∪ C) = 6/8 = 0,75.
d) P(Cc
) = 1 - 4/8 = 4/8 = 0,5. Los conjuntos A y B no comparten ningún elemento (A ∩ B = ∅), por tanto P(A ∩
B) = 0.
Ejercicio 4 (Baraja Española)
Casos totales = 40 cartas.
a) As: Hay 4 Ases en la baraja. P(As) = 4/40 = 1/10 = 0,1
b) Figura u Oros: Hay 12 figuras en total y 10 cartas de oros. Como hay 3 figuras que también son de oros
(Sota, Caballo y Rey de oros), aplicamos la unión: 12 + 10 - 3 = 19 cartas válidas. P(Figura u Oros) = 19/40 =
0,475
c) Diamantes: La baraja española no tiene el palo de diamantes (es propio de la baraja francesa). Es un
suceso imposible. P(Diamantes) = 0
Ejercicio 5
Aplicamos la fórmula general de la probabilidad de la unión: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B).
Sustituyendo los datos: P(A ∪ B) = 0,30 + 0,50 - 0,10 = 0,70.
Conclusión: Los sucesos son compatibles, ya que su intersección es distinta de cero (P(A ∩ B) = 0,10),
lo que significa que pueden ocurrir de forma simultánea.
